Question

20．已知四面體ABCD的底面BCD是邊長為2的等邊三角形，AB=AC=3，則當棱AD長為$\sqrt{11}$時，四面體ABCD的體積最大．

Answer 1

分析 當體積最大時，平面ABC與底面BCD垂足，利用勾股定理計算AD．

解答 解：取BC的中點E，連結AE，DE，
∵AB=AC，BD=CD，
∴BC⊥AE，BC⊥DE，
∴∠AED為二面角A-BC-D的平面角，
∴A到平面BCD的距離d=AE•sin∠AED，
顯然當∠AED=90°時，四面體體積最大．
此時，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{11}$．
故答案為：$\sqrt{11}$．

點評 本題考查了空間點到平面的距離計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．