Question

5．設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），且f（x）在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調，則f（x）的最小正周期是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． π

Answer 1

分析 由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）求出函數的一條對稱軸，結合f（x）在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調性，且f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），可得函數的半周期，則周期可求．

解答 解：由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得函數關于x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$對稱，
則x=$\frac{π}{2}$離最近對稱軸距離為$\frac{7π}{12}-\frac{π}{2}=\frac{π}{12}$．
又f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），則f（x）有對稱中心（$\frac{π}{3}$，0），
由于f（x）在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調性，
則$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$T⇒T≥$\frac{2π}{3}$，從而$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$=$\frac{T}{4}$⇒T=π．
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用條件求出函數的對稱軸和對稱中心，結合函數的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．