Question

17．已知等比數列{a_n}中，a₂=2，a₂，a₃+1，a₄成等差數列；數列{b_n}的前n項和為S_n，${S_n}={n^2}+n$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列$\left\{{{a_n}+\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列定義和等差數列的性質求出公比q，再求出首項，即可得到數列的通項公式，
（2）根據等比數列的求和公式和裂項求和分組求出即可．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q：因為a₂，a₃+1，a₄成等差數列，
故a₂+a₄=2（a₃+1），
即a₄=2a₃，
故q=2；
因為${a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，
即a_n=2^n-1．
（2）因為S_n=n²+n，
故當n=1時，b₁=S₁=2，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
綜上所述b_n=2n，
故$\frac{4}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故數列$\left\{{{a_n}+\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為$\frac{{1×（{1-{2^n}}）}}{1-2}+（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）={2^n}-1+1-\frac{1}{n+1}={2^n}-\frac{1}{n+1}$．

點評 本題考查等數列的性質，等比數列通項公式和求和公式，“裂項相消法”求數列的前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．