Question

6．已知f（x）=Asin（2x-α）（A＞0）且${∫}_{0}^{\frac{4}{3}π}$f（x）dx=0，則f（x）的一個對稱中心為（　　）

• A． （π，0）
• B． （$\frac{4}{3}$π，0）
• C． （$\frac{5}{3}$π，0）
• D． （$\frac{7}{6}$π，0）

Answer 1

分析 由條件求得cos（$α+\frac{π}{6}$）=0，求得α的值，可得f（x）的解析式，再根據正弦函數的圖象的對稱性，求得f（x）的圖象的一個對稱中心．

解答 解：∵f（x）=Asin（2x-α）（A＞0）且${∫}_{0}^{\frac{4}{3}π}$f（x）dx=-$\frac{1}{2}$Acos（2x-α）${|}_{0}^{\frac{4π}{3}}$=-$\frac{A}{2}$cos（$\frac{8π}{3}$-α）-[-$\frac{A}{2}$cosα]=-$\frac{A}{2}$cos（$\frac{2π}{3}$-α）+$\frac{A}{2}$cosα=0，
∴-$\frac{A}{2}$（ cos$\frac{2π}{3}$cosα+sin$\frac{2π}{3}$sinα）+$\frac{A}{2}$cosα=0，即$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）=0，即cos（$α+\frac{π}{6}$）=0，
∴α+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，故可取α=$\frac{π}{3}$，f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{3}$），令2x-$\frac{π}{3}$=nπ，n∈Z，求得x=$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
故選：D．

點評 本題主要考查求定積分，三角恒等變換，余弦函數的圖象的對稱性，屬于中檔題．