Question

20．已知函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（I）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦函數的單調性即可得出．
（II）函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]上為單調增函數，在區(qū)間[$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$]上為減函數，即可得出．

解答 解：（I）函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴$-\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
所以函數的單調增區(qū)間為：[$-\frac{π}{8}+kπ$，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]上為單調增函數，
在區(qū)間[$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$]上為減函數，
又f（$\frac{π}{8}$）=0，f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=-1．
故函數f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}$]上的最小值為-1，最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．