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12.已知數列{an}是等差數列,其前n項和為Sn,a3=$\frac{1}{2}$•S3=6.
(I)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求和:$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$.

分析 (Ⅰ)由題意可知:S3=3a2=12,求得a2=4,由d=a3-a2得到公差,再求出首項,即可求出數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求出等差數列的前n項和,取倒數后利用裂項相消法求得$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$.

解答 解:(Ⅰ)設等差數列{an}的公差是d,
由${a}_{3}=\frac{1}{2}•{S}_{3}=6$,得S3=12,
由等差數列的性質可知:S3=3a2=12,解得:a2=4,
∴d=a3-a2=6-4=2,則a1=a2-d=2,
∴數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n;
(Ⅱ)由(1)可知Sn=$\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)$,
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.

點評 本題考查等差數列通項公式的求法,訓練了裂項相消法求數列的前n項和,是中檔題.

練習冊系列答案
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17.已知等比數列{an}中,a2=2,a2,a3+1,a4成等差數列;數列{bn}的前n項和為Sn,${S_n}={n^2}+n$.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列$\left\{{{a_n}+\frac{4}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和.

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3.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1且傾斜角為45°的直線l與橢圓相交于A,B兩點.則AB的中點坐標(  )
A.(-$\frac{3}{5}$,$\frac{2}{5}$)B.(1,-1)C.(-1,$\frac{2}{5}$)D.(-1,1)

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(I)求函數f(x)的單調遞增區間;
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7.函數y=3sin(-2x-$\frac{π}{6}$)的單調遞增區間(  )
A.[kπ-$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{5π}{12}$](k∈Z)B.[kπ+$\frac{5π}{12}$,kπ+$\frac{11π}{12}$](k∈Z)
C.[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$](k∈Z)D.[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2π}{3}$](k∈Z)

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17.已知區域D是由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x+3y≥0}\end{array}$所確定的,則圓x2+y2=4在區域D內的面積等于$\frac{π}{2}$.

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4.定義在R上的偶函數f(x),滿足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函數,
①f(x)為周期函數;      
②f(x)的圖象關于x=1對稱;      
③f(x)在[0,1]上為增函數;
④f(x)在[1,2]上為減函數;   
⑤f(2)=f(0).
則上述說法正確的有①②⑤.

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科目:高中數學 來源: 題型:填空題

1.設集合A={0,2,3},B={x+1,x},A∩B={3},則實數x的值為3.

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2.已知數列{an}是首項為1,公比為$\frac{1}{2}$的等比數列,令Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1(a1+a2+…+an)+a2(a2+a3+…+an)+…+an-1(an-1+an)+an2.若對一切正整數n,都有Tn>c•Sn2,則c的取值范圍是(-∞,$\frac{4}{3}$].

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