Question

15．設點A（-2，0）和B（0，3），在直線l：x-y+1=0上找一點P，使|PA|+|PB|的取值最小，則這個最小值為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 求出點B關于直線l：x-y+1=0的對稱點為C，連結AC，則AC交直線l于點P，點P即為所求的點，此時，|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，（|PA|+|PB|）_min=|AC|．

解答 解：設點B關于直線l：x-y+1=0的對稱點為C（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+a}{2}-\frac{3+b}{2}+1=0}\\{\frac{b-3}{a-0}=-1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，∴C（2，1），
連結AC，則AC交直線l于點P，點P即為所求的點，
此時，|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，
故（|PA|+|PB|）_min=|AC|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點評 本題考查線段和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．