Question

7．已知拋物線y=x²上存在兩個不同的點M，N關于直線l：y=-kx+$\frac{9}{2}$對稱，求k的取值范圍（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 設出M、N的中點P的坐標，根據P在拋物線內，建立不等式，即可求出k的取值范圍．

解答 解：設拋物線上y=x²存在兩個不同的點M、N關于y=-kx+$\frac{9}{2}$對稱，MN的中點為P（x₀，y₀）（x₀≠0），
∴k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂=2x₀=$\frac{1}{k}$，
∴x₀=$\frac{1}{2k}$，
∵P∈l，
∴y₀=-kx₀+$\frac{9}{2}$，
∴y₀=4，
∵P在拋物線內，
∴y₀＞x₀²，
即4＞（$\frac{1}{2k}$）²，
∴16k²-1＞0，
解得：k∈（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查點關于線的對稱問題，兩條直線垂直的性質，中點公式的應用，屬于中檔題．