Question

17．若函數f（x）=x²的定義域為D，其值域為{0，1，2，3，4，5}，則這樣的函數f（x）有243個．（用數字作答）

Answer 1

分析 根據題意，由函數的定義，分別令x²=0、1、2、3、4、5，可得x的值，分析可得函數的定義域D中必須含有0，±1、±$\sqrt{2}$、±$\sqrt{3}$、±2、±$\sqrt{5}$中至少含有1個，分析每一個元素可能的情況數目，由分步計數原理計算可得答案．

解答 解：根據題意，函數f（x）=x²的定義域為D，其值域為{0，1，2，3，4，5}，
令x²=0可得x=0，則D中必須有0，有1種情況，
令x²=1可得x=±1，則D中必須包含±1中的至少一個，有3種情況，
令x²=2可得x=±$\sqrt{2}$，則D中必須包含±$\sqrt{2}$中的至少一個，有3種情況，
令x²=3可得x=±$\sqrt{3}$，則D中必須包含±$\sqrt{3}$中的至少一個，有3種情況，
令x²=4可得x=±2，則D中必須包含±2中的至少一個，有3種情況，
令x²=5可得x=±$\sqrt{5}$，則D中必須包含±$\sqrt{5}$中的至少一個，有3種情況，
則函數f（x）的定義域D可能的情況有1×3×3×3×3×3=243種，
即這樣的函數f（x）有243個；
故答案為：243．

點評 本題考查排列、組合的應用，涉及函數函數的概念以及構成函數的三要素，根據題意，分析得到f（x）的定義域中包含的元素是解題的關鍵．