Question

12．如圖，在三棱錐A-BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB=DC，E為BC中點，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0．

Answer 1

分析 根據(jù)兩個要求數(shù)量積的向量的位置，把這兩個向量用以D為起點的向量來表示，整理出含有向量的數(shù)量積的表示形式，根據(jù)垂直和長度關(guān)系得到結(jié)果．

解答 解：∵$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$）•（$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DB}$），
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$），
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{DB}}^{2}$-$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{DC}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}$，
∵DA，DB，DC兩兩垂直，且DB=DC，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0，
故答案為：0．

點評 本題考查空間向量的數(shù)量積的運算，本題解題的關(guān)鍵是把要求數(shù)量積的向量表示成已知向量的和或差的形式，再進行數(shù)量積的運算．