Question

7．已知函數f（x）=-x³+2ex²-x²+mx-e²（x＞0），若f（x）=0有兩個相異實根，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-e²+2e，0）
• B． （-e²+2e，+∞）
• C． （0，e²-2e）
• D． （-∞，-e²+2e）
  
  第Ⅱ卷

Answer 1

分析 條件可化為方程m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$有2個不等實數根，即直線y=m 和函數y=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$的圖象在（0，+∞）上有兩個不同的交點．利用導數求得m的最小值為m（e）=2e-e²，可得m的范圍．

解答 解：∵x＞0，函數f（x）=-x³+2ex²-x²+mx-e² =mx-（x³-2ex²+x²+e² ），
若f（x）=0有兩個相異實根，則 mx=（x³-2ex²+x²+e² ）在（0，+∞）上有2個不等實數根，
即m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$有2個不等實數根，
即直線y=m 和函數y=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$的圖象在（0，+∞）上有兩個不同的交點．
由于 m′=$\frac{（x-e）•（{2x}^{2}+x_e）}{{x}^{2}}$，故在（0，e）上，m′＜0，∴m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$在（0，e）上是減函數，
在（e，+∞）上，m′＞0，m=x²-2ex+x+$\frac{{e}^{2}}{x}$在（e+∞）上是增函數，故m的最小值為m（e）=2e-e²．
若使f（x）=0有兩個相異實根，則m＞-e²+2e．

點評 本題考查了導數的綜合應用及函數的零點的判斷，方程根的存在性以及個數判斷，屬于中檔題．