Question

2．如圖AB是圓O的直徑，點C是弧AB上一點，VC垂直圓O所在平面，D，E分別為VA，VC的中點．
（1）求證：DE⊥VB；
（2）若VC=CA=6，圓O的半徑為5，求點E到平面BCD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用直徑對直角，得出AC⊥BC，再由直線VC⊥AC，證明AC⊥平面VBC，再由ED∥AC，得出ED⊥平面VBC，從而證明VB⊥DE；
（2）利用等體積法，得到V_E-BC=V_B-CDE，即可求出點點到平面BCD的距離．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的點，
∴AC⊥BC，
又直線VC垂直于⊙O所在的平面，
∴VC⊥AC，
又VC∩BC=C，∴AC⊥平面VBC；
又D、E分別是VA、VC的中點，
∴ED∥AC，
∴ED⊥平面VBC，
又VB?平面VBC，
∴VB⊥DE
（2）設點E到平面BCD 的距離為d，
由V_E-BC=V_B-CDE得$\frac{1}{3}$d•S_△BCD=$\frac{1}{3}$×8×$\frac{1}{2}$×3×3=12
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$×8×3$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$
解得d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
即點E到平面BCD的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直共線的應用問題，也考查了邏輯思維與空間想象能力，屬于中檔題．