Question

11．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AC=$\sqrt{2}$AA₁，則AB₁與CA₁所成角的大小為（　�。�

• A． 60°
• B． 105°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A為原點，過A在平面ABC內作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AB₁與CA₁所成角的大小．

解答 解：以A為原點，過A在平面ABC內作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AC=$\sqrt{2}$AA₁=2$\sqrt{2}$，
則A（0，0，0），C（0，2$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，2），B₁（$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{6}，\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，-2$\sqrt{2}$，2），
設AB₁與CA₁所成角的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{C{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{C{A}_{1}}|}$=0，
∴AB₁與CA₁所成角的大小為90°．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．