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20.如圖甲,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=$\frac{π}{2}$,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點,O是AC與BE的交點,將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖乙.

(1)證明:CD⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求BC與平面A1CD所成的角.

分析 (1)根據線面垂直的判定定理即可證明:CD⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,利用等體積即可求BC與平面A1CD所成的角..

解答 (1)證明:在圖甲中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點,∠BAD=$\frac{π}{2}$,
∴BE⊥AC,即在圖乙中,BE⊥OA1,BE⊥OC.

又OA1∩OC=O,∴BE⊥平面A1OC.
∵BC∥DE,BC=DE,
∴BCDE是平行四邊形,
∴CD∥BE,∴CD⊥平面A1OC.   …(6分)
(2)解:由題意,CD=BE=$\sqrt{2}$,平面A1BE⊥平面BCDE,
∴OA1⊥平面BCDE,∴OA1⊥OC
∴A1C=1
∵BE⊥平面A1OC,∴BE⊥A1C
∵CD∥BE,∴CD⊥A1C.
設B到平面A1CD的距離為d,
由∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}sin\frac{3π}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴d=$\frac{1}{2}$,故B到平面A1CD的距離為$\frac{1}{2}$,
∴BC與平面A1CD所成的角為30°.         …(12分)

點評 本題考查了平面立體轉化的問題,運用好折疊之前,之后的圖形,對于空間直線平面的位置關系的定理要很熟練.

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