Question

12．已知兩向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=12，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根據$|\overrightarrow{a}|=4，|\overrightarrow{b}|=2$，進行數量積的運算，便可由$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=12$求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，進而求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夾角．

解答 解：根據條件：
$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$16+8+24cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=12$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查數量積的運算及計算公式，向量夾角的范圍，已知三角函數值求角．