Question

4．已知函數f（x）=2x+ax²+bcosx函數在點$（{\frac{π}{2}，f（{\frac{π}{2}}）}）$處的切線為y=$\frac{3π}{4}$．
（1）求函數a，b的值，并求出f（x）在[0，π]上的單調區間；
（2）若f（x₁）=f（x₂），且0＜x₁＜x₂＜π，求證：$f'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據導數的幾何意義即可期初a，b的值，再根據導數和函數的單調性關系即可求出，
（2）由f（x₁）=f（x₂），得得$2-\frac{1}{π}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{{{{cosx}_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，令x₁+x₂=2x₀，構造函數h（x）=$\frac{sinx}{x}$，求導得到函數的最值，即可證明．

解答 解：（1）由題意：f'（x）=2+2ax-bsinx，所以$\left\{{\begin{array}{l}{f'（{\frac{π}{2}}）=0}\\{f（{\frac{π}{2}}）=\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{π}}\\{b=1}\end{array}}\right.$，
故$f（x）=2x-\frac{1}{π}{x^2}+cosx，f'（x）=2-\frac{2}{π}x-sinx$，
當$0＜x＜\frac{π}{2}$時，f'（x）為減函數，且$f'（{\frac{π}{2}}）=0，f'（x）＞0，f（x）$為增函數，
當$\frac{π}{2}＜x＜π$時，$f''（x）=-\frac{2}{π}-cosx$為增函數，
且$f''（{\frac{π}{2}}）=-\frac{2}{π}＜0，f''（π）=1-\frac{2}{π}＞0$，
故存在唯一m使f（m）=0，
所以f'（x）在$（{\frac{π}{2}，m}）$上為減函數，在（m，π）上為增函數，
又因為$f'（{\frac{π}{2}}）=0，f'（π）=0$，
所以$\frac{π}{2}＜x＜π$時，f'（x）＜0，f（x）為減函數，
綜上可知：$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，f（x）為增函數；$x∈[{\frac{π}{2}，π}]$時，f（x）為減函數，
（2）由f（x₁）=f（x₂），得$2{x_1}-\frac{x_1^2}{π}+cos{x_1}=2{x_2}-\frac{x_2^2}{π}+cos{x_2}$，
所以$2（{{x_1}-{x_2}}）-\frac{1}{π}（{{x_1}+{x_2}}）（{{x_1}-{x_2}}）+cos{x_1}-cos{x_2}=0$，
兩邊同除以x₁-x₂，得$2-\frac{1}{π}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{{{{cosx}_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，
令x₁+x₂=2x₀，則$2-\frac{2}{π}{x_0}+\frac{{-2sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，
所以$2-\frac{2}{π}{x_0}-\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$，
得$2-\frac{2}{π}{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
因為$f'（x）=2-\frac{2x}{π}-sinx$，
所以$f'（{x_0}）=2-\frac{{2{x_0}}}{π}-sin{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-sin{x_0}$=$sin{x_0}•（{\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1}）$，
令$x=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}，x∈（{0，π}），h（x）=\frac{sinx}{x}$，
則$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x}$，
當$0＜x＜\frac{π}{2}$時，h'（x）＜0，h（x）為減函數，
當$\frac{π}{2}＜x＜π$時，h'（x）＜0，h（x）為減函數，
所以h（0）→1，（也可以利用斜率），
所以$h（x）＜1，\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1＜0$，
又x₀∈（0，π），所以sinx₀＞0，
故f'（x₀）＜0，
故：$f'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$．

點評 本題考查了導數的幾何意義和導數和函數的最值和單調性的關系，以及不等式恒成立的問題，考查了學生的運算能力，化歸能力，屬于難題．