Question

11．設數列{a_n}的前n項和${S_n}={2^{n+2}}-4$，數列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{nlo{g_2}\;{a_n}}}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數列的遞推式：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）求得${b}_{n}=\frac{1}{n{log}_{2}{2}^{n+1}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再由數列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）當n=1時，${a}_{1}={S}_{1}={2}^{3}-4=4$．
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+2}-{2}^{n+1}={2}^{n+1}（對n=1也成立）$，
故所求${a}_{n}={2}^{n+1}（n∈{N}^{*}）$；
（2）由${b}_{n}=\frac{1}{n{log}_{2}{2}^{n+1}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意運用數列的遞推式，考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．