Question

已知函數f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）若f（x）為奇函數，求a的值．
（2）證明：不論a為何值f（x）在R上都單調遞增．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）利用函數的奇偶性定義，得到解析滿足的相應關系式，等價化簡后，利用恒成立特征，求出a的值；（2）利用函數單調性，證明原函數的單調性，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x）
∴f（0）=a-

1

20+1

=a-

1

2

．
∴a=

1

2

．
（2）∵f（x）的定義域為R，
∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(a-

1

2x1+1

)-(a-

1

2x2+1

)
=(

1

2x1+1

-

1

2x2+1

)
=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x在R是單調遞增且x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴不論a為何值時f（x）在R上單調遞增．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，本題難度不大，屬于基礎題．