Question

【題目】已知關于x的函數與在區間D上恒有．

（1）若，求h(x)的表達式；

（2）若，求k的取值范圍；

（3）若求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析

【解析】

（1）求得與的公共點，并求得過該點的公切線方程，由此求得的表達式.

（2）先由，求得的一個取值范圍，再由，求得的另一個取值范圍，從而求得的取值范圍.

（3）先由，求得的取值范圍，由方程的兩個根，求得的表達式，利用導數證得不等式成立.

（1）由題設有對任意的恒成立.

令，則，所以.

因此即對任意的恒成立，

所以，因此.

故.

（2）令，.

又.

若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.

當時，，符合題意.

當時， 在上遞減，在上遞增，則，

即，符合題意.

綜上所述，.

由

當，即時，在為增函數，

因為，

故存在，使，不符合題意.

當，即時，，符合題意.

當，即時，則需，解得.

綜上所述，的取值范圍是.

（3）因為對任意恒成立，

對任意恒成立，

等價于對任意恒成立.

故對任意恒成立.

令，

當，，

此時，

當，，

但對任意的恒成立.

等價于對任意的恒成立.

的兩根為，

則，

所以.

令，則.

構造函數，，

所以時，，遞減，.

所以，即.