Question

【題目】已知函數，證明.

（1）存在唯一的極小值點；

（2）的極小值點為則.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

(1)求出函數的導數并二次求導，即設，，結合余弦函數和指數函數的性質可求出當，恒成立，即可判斷出在上的單調性，由零點存在定理可求出在區間上存在唯一的零點，進而可證明結論.

(2)由，，由零點存在定理可得極小值點，進而可得，結合三角恒等變換可得，由正弦三角函數可求出.

解：（1），設，則，

當時，，所以.

當時，，

綜上所述，當，恒成立，

故在上單調遞增.

又，由零點存在定理可知，

函數在區間上存在唯一的零點，，

結合單調性可得在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數存在唯一極小值點.

（2）由（1）知，，，

，而，所以，

即，，故極小值點，

且，即，由式，得

.由，

得，所以，即.