Question

13．已知函數f（x）=x²+alnx的圖象與直線l：y=-2x+c相切，切點的橫坐標為1．
（1）求函數f（x）的表達式和直線l的方程；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用導數的幾何意義求直線方程．（2）利用導數求函數的單調區間．

解答 解：（1）因為f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，所以-2=f'（1）=2+a，所以a=-4，
所以f（x）=x²-4lnx，
所以f（1）=1，所以切點為（1，1），所以c=3，
所以直線l的方程為y=-2x+3；
（2）因為f（x）的定義域為x∈（0，+∞），
所以由f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-4}{x}$＞0得x＞$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\sqrt{2}$，
故函數f（x）的單調減區間為（0，$\sqrt{2}$），單調增區間為（$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查導數的綜合應用，要求熟練掌握函數的單調性、最值和極值與導數的關系．