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13.已知函數f(x)=x2+alnx的圖象與直線l:y=-2x+c相切,切點的橫坐標為1.
(1)求函數f(x)的表達式和直線l的方程;
(2)求函數f(x)的單調區間.

分析 (1)求導數,利用導數的幾何意義求直線方程.(2)利用導數求函數的單調區間.

解答 解:(1)因為f′(x)=2x+$\frac{a}{x}$,所以-2=f'(1)=2+a,所以a=-4,
所以f(x)=x2-4lnx,
所以f(1)=1,所以切點為(1,1),所以c=3,
所以直線l的方程為y=-2x+3;
(2)因為f(x)的定義域為x∈(0,+∞),
所以由f′(x)=$\frac{{2x}^{2}-4}{x}$>0得x>$\sqrt{2}$,
由f′(x)<0得0<x<$\sqrt{2}$,
故函數f(x)的單調減區間為(0,$\sqrt{2}$),單調增區間為($\sqrt{2}$,+∞).

點評 本題主要考查導數的綜合應用,要求熟練掌握函數的單調性、最值和極值與導數的關系.

練習冊系列答案
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