Question

2．曲線$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$上的點到原點O的距離最小值等于3．

Answer 1

分析 設曲線上一點A的坐標，利用兩點間的距離公式表示出A到原點的距離d，則得到d²=x²+y²=x²-1+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$+5然后利用重要不等式進行變形后，即可求出d的最小值．

解答 解：設曲線上一點A（x，y），則A到原點的距離為d²=x²+y²，
∵$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$，
∴y²=$\frac{4{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=4+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$≥0，
∴x²-1＞0，
∴d²=x²+y²=x²+4+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$=x²-1+$\frac{4}{{x}^{2}-1}$+5≥2$\sqrt{（{x}^{2}-1）•\frac{4}{{x}^{2}-1}}$=4+5=9，當且僅當x=±$\sqrt{3}$時取等號，
∴d≥3，
故曲線$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$上的點到原點O的距離最小值等于3，
故答案為：3．

點評 此題考查學生靈活運用重要不等式求函數的最值，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．