Question

17．四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=a，E為棱PC上點．
（1）面EBD與面PAC能否始終垂直，證明你的結論；
（2）若E為PC中點，求異面直線BE與PA所成角；
（3）當△EBD面積最小時，求E-BDC體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，面EBD與面PAC能始終垂直．證明如下：連接BD，AC，設BD∩AC=O，連接OE．利用菱形的性質可得：BD⊥AC．由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可證明面EBD⊥面PAC．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標系．利用$cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BE}|}$即可得出異面直線BE與PA所成角．
（3）當OE⊥PC時，OE為異面直線BD與PC的距離，取得最小值．可得OE=OC•sin∠ECO．此時當△EBD面積取得最小值，E-BDC體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△BED}$×EC．

解答 解：（1）如圖所示，面EBD與面PAC能始終垂直．證明如下：
連接BD，AC，設BD∩AC=O，連接OE．
∵底面四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，
∴面EBD⊥面PAC．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標系．
A（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$a，0），P（0，0，a），B$（\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$，E$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{a}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{a}{2}，0，\frac{a}{2}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}×2}×a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴異面直線BE與PA所成角為$\frac{π}{4}$．
（3）O$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}a，0）$，
當OE⊥PC時，OE且異面直線BD與PC的距離，取得最小值．
∴OE=OC•sin∠ECO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$\frac{PA}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$×$\frac{a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．
∴當△EBD面積最小為$\frac{1}{2}BD•\frac{\sqrt{3}}{4}a$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$時，
E-BDC體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△BED}$×EC=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$×$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{32}$．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角、向量夾角公式、數量積運算性質、直角三角形的邊角關系、三棱錐的體積計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．