Question

7．（1）解不等式：|2x-1|+|2x+1|≤6．
（2）求函數y=5$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{10-2x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值的性質，分類討論，即可求出不等式的解集，
（2）根據柯西不等式即可求出答案．

解答 解：（1）①當$x＜-\frac{1}{2}$時，不等式等價為$-（x-\frac{1}{2}）-（x+\frac{1}{2}）≤3$，即-2x≤3，$x≥-\frac{3}{2}$，此時$-\frac{3}{2}≤x＜-\frac{1}{2}$；
②當$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$時，不等式等價為$（x-\frac{1}{2}）-（x+\frac{1}{2}）≤3$，即-1≤3，恒成立，此時$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$；
③當$x＞\frac{1}{2}$時，不等式等價為$（x-\frac{1}{2}）+（x+\frac{1}{2}）≤3$，即2x≤3，$x≤\frac{3}{2}$，此時$\frac{1}{2}＜x≤\frac{3}{2}$，
綜上不等式的解為$-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}$，所以不等式的解集為$A=\{x\left|{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right.\}$．
（2）函數的定義域為[1，5]，且y＞0，y=5×$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2}$×$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$×$\sqrt{（\sqrt{x-1}）^{2}+（\sqrt{5-x}）^{2}}$=$\sqrt{27×4}$=6$\sqrt{3}$，
當且僅當$\sqrt{2}×\sqrt{x-1}=5×\sqrt{5-x}$時，等號成立，即$x=\frac{127}{27}$時，函數取最大值$6\sqrt{3}$

點評 本題考查了絕對值不等式的解法和柯西不等式的應用，屬于基礎題．