Question

7．已知$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{x+1}（a∈R）$在（1，f（1））處的切線經過點（0，1），則a=-1．

Answer 1

分析 首先利用導數的幾何意義求出切線的斜率，然后由直線的點斜式寫出直線方程，利用切線經過已知點求出a．

解答 解：由已知f'（x）=$\frac{2ax（x+1）-（a{x}^{2}+1）}{（x+1）^{2}}=\frac{a{x}^{2}+2ax-1}{（x+1）^{2}}$，
所以切線的斜率k=$\frac{3a-1}{4}$，f（1）=$\frac{a+1}{2}$，所以切線方程為y-$\frac{a+1}{2}$=$\frac{3a-1}{4}$（x-1），
又切線經過點（0，1），所以1-$\frac{a+1}{2}=\frac{1-3a}{4}$，解得a=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查了導數的幾何意義，求出切線方程，利用切線經過已知點，求得a，