Question

已知函數，為常數.
（1）若函數在處的切線與軸平行，求的值；
（2）當時，試比較與的大小；
（3）若函數有兩個零點、，試證明.

Answer 1

（1）;（2）①當時，，即；②當時，；③當時，即;（3）詳見解析

試題分析：（1）根據題意切線平行于x軸即斜率為0，則對函數求導可得，即，可求出a;（2）根據題意當時，函數就確定下來了，對其求導可得，可研究出函數的單調性情況，為了比較大小可引入一個新的函數，即令，則利用導數對其進行研究可得，而，則可由m與1的大小關系進行分類得出結論;（3）顯然兩零點均為正數，故不妨設，由零點的定義可得：，即，觀察此兩式的結構特征可相加也可相減化簡得：，現在我們要證明，即證明，也就是．又因為，所以即證明，即．由它的結構可令＝t，則，于是．構造一新函數，將問題轉化為求此函數的最小值大于零，即可得證．
（1），由題，．               4分
（2）當時，，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減．
由題，令，
則．                  7分
又，
①當時，，即；
②當時，；
③當時，即．                        10分
（3），， ，，
，                                   12分
欲證明，即證，
因為，
所以即證，所以原命題等價于證明，即證：，
令，則，設，，
所以在單調遞增，又因為，所以，
所以，所以                            16分