Question

19．已知函數f（x）=ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若函數在區間（2，4）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（2）求函數的單調增區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，得到a的范圍即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷導函數的符號，從而求出函數的單調遞增區間．

解答 解：（1）因為函數定義域為{x|x＞0}，f′（x）=ax+1-a-$\frac{1}{x}$，（2分）
已知函數在區間（2，4）上存在單調遞增區間，
由f′（x）≥0，得ax+1≥0，故a≥-$\frac{1}{x}$＞-$\frac{1}{2}$，
故a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．（6分）
（2）f′（x）=ax+1-a-═$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$，
①當a＜-1時，由f′（x）≥0得-$\frac{1}{a}$≤x≤1，f（x）的單調增區間為[-$\frac{1}{a}$，1]；
②當a=-1時，f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≤0，f（x）無單調增區間；（8分）
③當-1＜a＜0時，由f′（x）≥0得1≤x≤-$\frac{1}{a}$，f（x）的單調增區間為[1，-$\frac{1}{a}$]；
④當a=0時，由f′（x）=$\frac{x-1}{x}$≥0得x≥1，f（x）的單調增區間為[1，+∞）；（10分）
⑤當a＞0時，由f′（x）=$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$≥0得x≥1，f（x）的單調增區間為[1，+∞）．（12分）
綜上所述當a＜-1時，f（x）的單調增區間為[-$\frac{1}{a}$，1]；
當a=-1時，f（x）無單調增區間；
當-1＜a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，-$\frac{1}{a}$]；
當a≥0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞）．（13分）

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．