Question

設函數f（x）=sinxsin（x+α），則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①f（x）的周期與α無關 
②f（x）是偶函數的充分必要條件α=0  
③無論α取何值，f（x）不可能為奇函數 
④x=-

α

2

是f（x）的圖象的一條對稱軸 
⑤若f（x）的最大值為

3

4

，則α=2kπ+

π

3

（k∈Z）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用積化和差公式，可將函數f（x）=sinxsin（x+α）化為余弦型函數，進而分析題目中5個結論的真假，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=sinxsin（x+α）=-

1

2

[cos（x+x+a）-cos（x-x-a）]=-

1

2

cos（2x+a）+

1

2

cosa；
∵ω=2，故f（x）的周期為π，與α無關，故①正確；
f（x）是偶函數等價于a=kπ，k∈Z，故②錯誤；
當a=

π

2

+kπ，k∈Z時，f（x）奇函數，故③錯誤；
當x=-

α

2

時，2x+a=0，此時函數取最小值，故x=-

α

2

是f（x）的圖象的一條對稱軸，故④正確；
若f（x）的最大值為

3

4

，則

1

2

cosa+

1

2

=

3

4

，此時cosa=

1

2

，此時α=2kπ±

π

3

，故⑤錯誤；
故命題正確的是：①④，
故答案為：①④

點評：本題考查的知識點是余弦型函數的圖象和性質，熟練掌握余弦型函數的圖象和性質是解答的關鍵．