Question

已知數列{a_n}滿足如圖所示的程序框圖．
（1）寫出數列{a_n}的一個遞推關系式；
（2）證明：{a_n+1-3a_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（3）求數列{n（a_n+3^n-1）}-的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式,程序框圖

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由程序框圖可知，a₁=a₂=1，a_n+2=5a_n+1-6a_n．
（2）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可得a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2．利用等比數列的通項公式可得an+1-3an=-2n，化為

an+1

2n+1

-1=

3

2

(

an

2n

-1)，再一次利用等比數列的通項公式即可得出．
（3）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）由程序框圖可知，a₁=a₂=1，a_n+2=5a_n+1-6a_n．
（2）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可得a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2．
可知，數列{a_n+1-3a_n}是以-2為首項，2為公比的等比數列，
可得an+1-3an=-2n，化為

an+1

2n+1

-1=

3

2

(

an

2n

-1)，又

a1

2

-1=-

1

2

，
∴數列{

an

2n

-1}是以-

1

2

為首項，

3

2

為公比的等比數列，

an

2n

-1=-

1

2

×(

3

2

)n-1，可得an=2n-3n-1．
（3）n（a_n+3^n-1）=n•2ⁿ，
則T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)2n+1+2．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式、程序框圖，考查了變形與轉化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．