Question

已知橢圓C：4x²+y²=1及直線l：y=x+m，m∈R．
（1）求直線l被橢圓C截得的弦的中點的軌跡；
（2）若直線l交橢圓C于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：對于第（1）問，設l與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點為M（x₀，y₀），聯立橢圓C及直線l的方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，由韋達定理及中點公式，可用m表示x₀，根據中點M在直線l上，得y₀，由x₀與y₀的表達式，消去m，得x₀與y₀的關系式，最后由△＞0，得m的范圍，從而得x₀的范圍，即可知弦AB的中點的軌跡．
對于第（2）問，設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），聯立橢圓C及直線l的方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，由韋達定理，得x₃+x₄及x₃x₄，將x₃，x₄分別代入直線l的方程中，得y₃y₄，由OP⊥OQ，得

OP

•

OQ

=0，將x₃x₄及y₃y₄代入，得到關于m的方程，解些方程并檢驗m的值即可．

解答： 解：（1）設l與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點為M（x₀，y₀）．
由

y=x+m 4x2+y2=1

，消去y，整理得5m²+2mx+m²-1=0，
因為直線l與橢圓C有兩個交點，所以△＞0，即（2m）²-4×5（m²-1）＞0，得-

5

2

＜m＜

5

2

．…①
由韋達定理，得x1+x2=-

2m

5

，即x0=

x1+x2

2

=-

1

5

m，…②
從而y0=-

1

5

m+m=

4

5

m，…③
由②、③，消去m，得y₀=-4x₀，
由①、②，得-

5

10

＜x0＜

5

10

，
得弦AB的中點M的軌跡為直線上y=-4x上滿足-

5

10

＜x＜

5

10

的一條線段．
所以弦AB的中點M的軌跡為
（2）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由（1）知，x₃+x₄=-

2m

5

，x3x4=

m2-1

5

，
從而y₃y₄=（x₃+m）（x₄+m）=x3x4+m(x3+x4)+m2=

m2-1

5

+m•(-

2m

5

)+m2=

4m2-1

5

，
由OP⊥OQ，得

OP

•

OQ

=0，
所以x₃x₄+y₃y₄=0，即

m2-1

5

+

4m2-1

5

=0，
得m=±

10

5

，經檢驗，m=±

10

5

均符合題意，
故直線l的方程為y=x+

10

5

，或y=x-

10

5

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交的關系、軌跡問題、中點弦及垂直問題，關鍵是利用韋達定理及直線方程進行轉換．