Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓上，過F（1，0）點的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l斜率為1，求線段MN的長；
（3）設線段MN的垂直平分線交y軸于點P（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l的方程為：y=x-1，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合弦長公式，可求線段MN的長；
（2）分類討論，設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程，求出線段MN的垂直平分線方程，令x=0，得y₀，利用基本不等式，即可求y的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，因此$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$，即可求橢圓M的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由題意，直線l的方程為：y=x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得得7x²-8x-8=0，x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{24}{7}$．
（3）設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點M（x'，y'），
把y=k（x-1）代入橢圓方程，得到方程（4k²+3）x²-8k²x-8=0，
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{4{k^2}+3}}$，$x'=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，y'=k（x'-1）=\frac{{-3{k^{\;}}}}{{4{k^2}+3}}$，
所以MN的中垂線的方程為$y-y'=-\frac{1}{k}（x-x'）$，令x=0，得${y_0}=\frac{1}{k}x'+y'=\frac{k}{{4{k^2}+3}}=\frac{1}{{4k+\frac{3}{k}}}$，
當k＞0時，$4k+\frac{3}{k}≥4\sqrt{3}$，則${y_0}∈（0，\frac{{\sqrt{3}}}{12}]$；當k＜0時，$4k+\frac{3}{k}≤-4\sqrt{3}$，則${y_0}∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{12}，0）$，當k=0時，顯然y₀=0
綜上，y₀的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，確定線段MN的垂直平分線方程是關鍵，屬于壓軸題．