Question

16．在平面直角坐標系xOy中，已知點P為函數y=2lnx的圖象與圓M：（x-3）²+y²=r²的公共點，且它們在點P處有公切線，若二次函數y=f（x）的圖象經過點O，P，M，則y=f（x）的最大值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 設P（x₀，y₀），求得y=2lnx的導數，可得切線的斜率和切線方程；求得圓上一點的切線方程，由直線重合的條件，可得二次函數y=$\frac{1}{2}$x（3-x），滿足經過點P，O，M，即可得到所求最大值．

解答 解：設P（x₀，y₀），函數y=2lnx的導數為y′=$\frac{2}{x}$，
函數y=2lnx在點P處的切線方程為y-y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即為$\frac{2}{{x}_{0}}$x-y+y₀-2=0；
圓M：（x-3）²+y²=r²的上點P處的切線方程為（x₀-3）（x-3）+yy₀=r²，
即有（x₀-3）x+yy₀+9-3x₀-r²=0；
由切線重合，可得
$\frac{2}{{x}_{0}-3}$=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{9-3{x}_{0}-{r}^{2}}$，
即x₀（3-x₀）=2y₀，
則P為二次函數y=$\frac{1}{2}$x（3-x）圖象上的點，
且該二次函數圖象過O，M，
則當x=$\frac{3}{2}$時，二次函數取得最大值$\frac{9}{8}$，
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查圓的方程、導數的幾何意義和二次函數的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．