Question

10．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關系有經驗公式P=$\frac{3}{5}$$\sqrt{t}$，Q=$\frac{1}{5}$t．今將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資x（萬元）．求：
（Ⅰ）經營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；
（Ⅱ）怎樣將資金分配給甲、乙兩種商品，能使得總利潤y達到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ利潤函數為y=甲商品所得的利潤P+乙商品所得的利潤y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x），x∈[0，3]．
（Ⅱ）y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x）=-$\frac{1}{5}（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{20}$．由二次函數的性質，得函數的最大值以及對應的x值．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，得y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x），x∈[0，3]．…（5分）
（Ⅱ）y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x）=-$\frac{1}{5}（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{20}$．
∵$\frac{3}{2}∈[0，3]$，∴當$\sqrt{x}$=$\frac{3}{2}$時，即x=$\frac{9}{4}$，3-x=$\frac{3}{4}$時，y_max=$\frac{21}{20}$．
即給甲、乙兩種商品分別投資$\frac{9}{4}$萬元、$\frac{3}{4}$萬元可使總利潤達到最大值$\frac{21}{20}$萬元．…（12分）

點評 本題考查了可化為二次函數模型的根式函數的應用，確定函數的解析式是關鍵，本題屬于基礎題．