Question

等差數列{a_n}中，公差d≠0，a₁=1，a₁、a₂、a₅成等比數列，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求滿足T_n＞

100

207

的最小正整數n．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）運用等差數列的通項公式和等比數列的性質，解出d=2，即可得到所求通項；
（2）運用裂項相消求和，即數列

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），再求和，解不等式即可確定最小的最小正整數n．

解答： 解：（1）a₁、a₂、a₅成等比數列，則a₂²=a₁a₅，
（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），即有d²=2d（d≠0），
則d=2．
則a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）數列

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．

1

2

（1-

1

2n+1

）＞

100

207

即為2n+1＞

207

7

，即n＞

100

7

，
則滿足T_n＞

100

207

的最小正整數n為15．

點評：本題考查等差數列的通項公式和等比數列的性質，考查數列求和的方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．