Question

【題目】已知橢圓C：的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓C與A、B兩點，△AF2B的周長為，且橢圓C經過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）當AB的中點坐標為時，求△AF2B的面積．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）

【解析】

（1）根據橢圓的定義求出a，再由橢圓上的點滿足橢圓方程求出即可.

（2）根據已知設出直線方程，將直線與橢圓聯立，利用中點弦公式求出直線方程，

再由弦長公式以及點到直線的距離即可求解.

（1）∵△AF2B的周長為4，故4a＝4，即a，

又橢圓經過點（1，），∴1，即b＝1，

∴橢圓方程為y2＝1．

（2）由橢圓方程可知F1（﹣1，0），F2（1，0）．

∵AB的中點（，）在第二象限，顯然直線AB有斜率且斜率大于0，

設直線AB的方程為y＝k（x+1）（k＞0），

代入橢圓方程可得：（k2）x2+2k2x+k2﹣1＝0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），即

，

解得：k＝1，于是x1x2＝0，

∴|AB|．

又直線AB的方程為：y＝x+1，F2（1，0），

∴F2到直線AB的距離d，

∴△ABF2的面積為．