Question

【題目】已知，是橢圓：上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上.

（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得，由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部得，即可求解k的范圍

（2）向量坐標(biāo)化得，，弦長(zhǎng)公式得由點(diǎn)在橢圓上，得，進(jìn)而得AB方程，與橢圓聯(lián)立得，則可求

（1）設(shè)，，則，，

兩式相減得：，

由線段的中點(diǎn)在直線上，可設(shè)此中點(diǎn)，因?yàn)橹本�的斜率存在，所以，

設(shè)其斜率為，由式得，即.

由于弦的中點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部，則，解得.

又，所以斜率的取值范圍為.

（2）由（1）知，，因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，

所以，，設(shè)，則，

，，，

同理可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

解得.當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，

代入得，由根與系數(shù)關(guān)系得.

則.

由對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)也成立，.