Question

【題目】已知函數．

（1）求證：函數是偶函數；

（2）設，求關于的函數在時的值域的表達式；

（3）若關于的不等式在時恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）判斷定義域是否關于原點對稱，計算判斷其與的關系； （2）令，故，換元得，轉化為二次函數，分類討論求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可.

試題解析：

（1）函數的定義域為，對任意， ，

所以，函數是偶函數．

（2），

令，因為，所以，故，

原函數可化為， ，

圖像的對稱軸為直線，

當時，函數在時是增函數，值域為；

當時，函數在時是減函數，在時是增函數，值域為．

綜上，

（3）由，得，　

當時， ，所以，所以，

所以， 恒成立．

令，則， ，

由，得，所以， ．

所以， ，即的取值范圍為．