Question

【題目】在中， ， ， ， 是中點（如圖1）.將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐.

（1）將沿折起的過程中， 平面是否成立？并證明你的結論；

（2）若與平面所成的角為60°，且為銳角三角形，求平面和平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）當DP1⊥DA時，CD⊥平面P1DA．由余弦定理得DC2=4，由勾股定理得DC⊥AD．即得到將△PCD沿CD折起的過程中，當DP1⊥DA時，CD⊥平面P1DA．（2）先證明在平面內的射影必在棱上，再建系，得到兩個平面的法向量，得到兩個法向量的夾角進而得到兩個面的夾角。

解析：

（1）將沿折起過程中， 平面成立，

證明：∵是中點，∴，

在中，由余弦定理得，

.

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形且，

∴， ，

∴平面.

（2）由（1）知平面， 平面，

∴平面平面，

∵為銳角三角形，∴在平面內的射影必在棱上（如圖），

∴平面，

則是和平面所成的角，

故，

∵，

∴為等邊三角形， 為中點，

故以為坐標原點，過點與平行的直線為軸， 所在直線為軸， 所在直線為軸建立如圖所示坐標系.

設軸于交于點，

∵，∴ ，

易知，

∴，

則， ， ， ，

， ， ， ，

∵平面，

∴可取平面的法向量，

設平面的法向量，平面和平面所成的角為，

則，∴得

令，則，

從而.