Question

【題目】如圖，正方體的棱長為2，P是BC的中點，點Q是棱上的動點．

（1）點Q在何位置時，直線，DC，AP交于一點，并說明理由；

（2）求三棱錐的體積；

（3）棱上是否存在動點Q，使得與平面所成角的正弦值為，若存在指出點Q在棱上的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當Q是中點時，直線，DC，AP交于一點，理由詳見解析；（2）；（3）存在點Q，且點Q為的中點.

【解析】

(1)畫出輔助線延長AP交DC于M,連結交于點Q,利用相似三角形證明即可.

(2)換頂點求解三棱錐的體積即可.

(3)以D為原點建立合適的空間直角坐標系,設,再利用線面夾角的向量解法求出即可.

解：（1）當Q是中點時,直線,DC,AP交于一點．

理由如下：延長AP交DC于M,連結交于點Q,

∵,∴,

∴．

∵,

∴,∴．

∴Q是中點．

（2）V棱錐棱錐．

（3）以D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建系

則,,,,

,,

設面的法向量為,則

取,,即

設與面所成角為

則

化簡得

解得或（舍去）

所以存在點Q,且點Q為的中點