Question

已知圓C和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直線y=x接的弦長為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C是過球心C的截面圓，求球的表面積．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質,球的體積和表面積

專題：直線與圓

分析：（1）根據直線和圓的位置關系，利用待定系數法即可求圓C的方程；
（2）根據圓C過球心C，得到球半徑和圓半徑之間的關系，即可求出球的表面積．

解答： 解：（1）設圓C的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
此時圓心坐標為（a，b），半徑為r，
把圓心坐標代入直線x-3y=0中得：a=3b，
又圓C與y軸相切，∴r=|a|，
∵圓心C到直線y=x的距離d=

|a-b|

2

=

2

|b|，弦長的一半為

7

，
∴根據勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此時圓C的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此時圓C的標準方程為（x+3）²+（y+1）²=9，
綜上，圓C的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）若圓C是過球心C的截面圓，
則球半徑即為圓C的半徑，
即球半徑r=3，
則球的表面積4π×3²=36π．

點評：本題主要考查圓的方程的求解，利用待定系數法是解決本題的關鍵．