Question

如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（1）證明：,分別為，的中點，

.

又平面，平面，

平面.

（2）解:平面，，平面

平面，.

四邊形是正方形，.

以為原點,分別以直線為軸, 軸,軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，設

,

，，，，，,

,.

，， 分別為，，的中點，

，，,,

（解法一）設為平面的一個法向量，則,

即，令，得.

設為平面的一個法向量,則,

即，令，得.

所以==.

所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）

（解法二），,

是平面一個法向量.

，,

是平面平面一個法向量.

平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.

（解法三）延長到使得連

，，

四邊形是平行四邊形，

四邊形是正方形，

，分別為，的中點，

平面，平面， 平面.

平面平面平面

故平面與平面所成銳二面角與二面角相等.

平面平面

平面是二面角的平面角.

平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.

考點：1、直線與平面平行的判定；2、平面與平面所成的角.