Question

已知數列{a_n}對于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2．
（1）求a_n的表達式；
（2）將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）設A_n為數列{

an-1

an

}的前n項積，是否存在實數a，使得不等式An

an+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由對于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2，知a_n=2n．
（2）因為a_n=2n（n∈N^*），所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環，每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．由此能求出b₅+b₁₀₀的值．
（3）因為

an-1

an

=1-

1

an

，故An=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)••(1-

1

an

)，所以An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)••(1-

1

an

)

2n+1

．故An

an+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N^*都成立，由此能求出使得所給不等式對一切n∈N^*都成立的實數a取值范圍．

解答：解：（1）∵對于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2，
∴a₂=2a₁=4，a₃=2+4=6，a₄=2+6=8，…，a_n=2n；（4分）
（2）因為a_n=2n（n∈N^*），
所以數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；
（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；
（42），．每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，
故b₁₀₀是第25組中第4個括號內各數之和．（6分）
由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20．
同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、
所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20．（8分）
故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80．
注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，（6分）
所以b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010．（10分）
（3）因為

an-1

an

=1-

1

an

，故An=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)••(1-

1

an

)，
所以An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)••(1-

1

an

)

2n+1

．
故An

an+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N^*都成立，
就是(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)••(1-

1

an

)

2n+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N^*都成立．（12分）
設g(n)=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)••(1-

1

an

)

2n+1

，
則只需[g(n)]max＜a-

3

2a

即可．
由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

2n+1

2n+2

•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是單調遞減，
于是[g(n)]max=g(1)=

3

2

．（14分）
令

3

2

＜a-

3

2a

，即

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞0，
解得-

3

2

＜a＜0，或a＞

3

，（15分）
綜上所述，使得所給不等式對一切n∈N^*都成立的實數a存在，
a的取值范圍是(-

3

2

，0)∪(

3

，+∞)．（16分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．