Question

15．如圖，點P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線BC₁（線段BC₁）上運動，給出下列五個命題：
①直線AD與直線B₁P為異面直線；
②A₁P∥平面ACD₁；
③三棱錐A-D₁PC的體積為定值；
④面PDB₁⊥面ACD₁；
⑤直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變．
其中真命題的編號為①②③④．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 對于①，根據異面直線的判定定理，可得結論；
對于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；
對于③，容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，以P為頂點，平面AD₁C為底面，易得；
對于④，容易證明PDB₁⊥面ACD₁，從而可以證明面面垂直；
對于⑤，可以從向量的角度進行判斷；

解答 解：對于①：AD∥平面B₁C₁CB，B₁P?平面B₁C₁CB，B₁P與AD不平行，故直線AD與直線B₁P為異面直線；①正確；
對于②：連接A₁B，A₁C₁，可得平面BA₁C₁∥面ACD₁，∵A₁P?平面BA₁C₁，故A₁P∥平面ACD₁；②正確；
對于③：容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變；③正確；

對于④：連接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知，故④正確；
對于⑤：∵隨著P點的移動，$\overrightarrow{AP}$與平面ACD₁的法向量的夾角也是變化的，∴⑤錯誤
故答案為：①②③④

點評 本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直的判定，要注意使用轉化的思想．