Question

設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），右焦點為F（c，0）（c＞0），方程ax²+bx-c=0的兩實根分別為x₁，x₂，則P（x₁，x₂）（　　）

• A、必在圓x²+y²=2內
• B、必在圓x²+y²=2外
• C、必在圓x²+y²=1外
• D、必在圓x²+y²=1與圓x²+y²=2形成的圓環之間

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先根據一元二次方程根和系數的關系求出x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2，進一步利用恒等變換求出x12+x22＞1和x12+x22＜2，利用一元二次方程根和系數的關系，基本不等式的應用，離心率的應用從而判斷結果．

解答：解：橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），右焦點為F（c，0）（c＞0），方程ax²+bx-c=0的兩實根分別為：x₁和x₂
則：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=-

c

a

x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=

b2

a2

+

2ac

a2

＞

a2+c2

a2

=1+e2
所以：0＜e＜1
即：0＜e²＜1
1＜e²+1＜2
x12+x22＞1

b2

a2

+

2ac

a2

＜

b2+a2+c2

a2

=2
所以：x12+x22＜2
即點P在圓x²+y²=1與x²+y²=2形成的圓環之間．
故選：D

點評：本題考查的知識要點：一元二次方程根和系數的關系，基本不等式的應用，離心率的應用．