【題目】如圖，長方體
的底面
是正方形，點
在棱
上，
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）根據長方體性質可知
平面
，從而
，由題意
，即可由線面垂直的判定定理證明
平面
；
（2）由題意
，設
，建立空間直角坐標系，即可寫出各個點的坐標，求得平面
和平面
的法向量，即可由兩個平面的法向量求得二面角
夾角的余弦值，再由同角三角函數關系式即可求得二面角的正弦值.
（1）由已知得，平面，
平面，
故.
又，且
，
所以平面.
（2）由（1）知
.由題設知
，所以
，
故
，. 設，以
為坐標原點，
的方向為
軸正方向，
為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系
：
則
，
，
，
，
，
，
.
設平面的法向量為
，則
即
.
所以可取
.
設平面的法向量為
，則
即
所以可取
.
于是
.
由同角三角函數關系式可得二面角的正弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態度進行調查,隨機抽調了50人,他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如表:
月收入(單位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上統計數據填下面2×2列聯表并問是否有99%的把握認為“月收入以5500為分界點”對“樓市限購令”的態度有差異;
月收入低于55百元的人數 | 月收入不低于55百元的人數 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若采用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調查人中共隨機抽取6人進行追蹤調查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求收到“紅包”獎勵的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
參考公式:K2
,其中n=a+b+c+d.
參考數據:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某地區的“微信健步走”活動情況,現用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進行問卷調查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:
（i）老年人的人數多于中年人的人數;
（ii）中年人的人數多于青年人的人數;
（iii）青年人的人數的兩倍多于老年人的人數.
①若青年人的人數為4,則中年人的人數的最大值為___________.
②抽取的總人數的最小值為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
上，過點作
軸于點
（1）求線段
的中點的軌跡
的方程
（2）設
、
兩點在（1）中軌跡上，點
，兩直線
與
的斜率之積為
，且（1）中軌跡上存在點
滿足
，當
面積最小時，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝mx-lnx-1（m為常數）．
（1）若函數f(x)恰有1個零點，求實數m的取值范圍；
（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a對正數x恒成立，求實數a的最小整數值．
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