Question

【題目】如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據長方體性質可知平面，從而，由題意，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）由題意，設，建立空間直角坐標系，即可寫出各個點的坐標，求得平面和平面的法向量，即可由兩個平面的法向量求得二面角夾角的余弦值，再由同角三角函數關系式即可求得二面角的正弦值.

（1）由已知得，平面，平面，

故.

又，且，

所以平面.

（2）由（1）知.由題設知，所以，

故，. 設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系：

則，，，，，，.

設平面的法向量為，則即.

所以可取.

設平面的法向量為，則即

所以可取.

于是.

由同角三角函數關系式可得二面角的正弦值為.