Question

5．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AC}$，則向量$\overrightarrow{a}$的坐標為（1，1，1）或（-1，-1，-1）．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），由|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AC}$，列出方程組，能求出向量$\overrightarrow{a}$的坐標．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
∵A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AC}$=（1，-3，2），
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3}\\{-2x-y+3z=0}\\{x-3y+2z=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\\{z=-1}\end{array}\right.$．
∴向量$\overrightarrow{a}$的坐標為：（1，1，1）或（-1，-1，-1）．
故答案為：（1，1，1）或（-1，-1，-1）．

點評 本題考查點的坐標的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．