Question

關于下列命題：
①函數y=tanx在第一象限是增函數；
②函數y=cos2（

π

4

-x）是奇函數；
③函數y=sin²x-2sinx的值域是[-1，+∞）；
④函數y=sin（

π

4

-2x）在（kπ+

5π

8

，kπ+

7π

8

），k∈Z上是增函數；
⑤設函數f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 x 1 2 ，x＞0

，若f（x₀）＞2，則x₀的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞）．
寫出所有正確的命題的題號

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質,簡易邏輯

分析：①函數y=tanx在第一象限不是增函數；
②函數y=cos2（

π

4

-x）=sin2x，即可判斷出奇偶性；
③函數y=sin²x-2sinx=（sinx-1）²-1，由于sinx∈[-1，1]，利用二次函數的單調性即可得出函數f（x）的值域；
④函數y=sin（

π

4

-2x）=-sin(2x-

π

4

)，由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），可知：函數f（x）的單調遞增區間，即可判斷出；
⑤設函數f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 x 1 2 ，x＞0

，對x₀分類討論，當x₀≤0時，由f（x₀）＞2，可得(

1

2

)x0＞2；當x₀＞0時，由f（x₀）＞2，可得

x0

＞2，解出即可．

解答： 解：①函數y=tanx在第一象限不是增函數，不正確；
②函數y=cos2（

π

4

-x）=sin2x是奇函數，正確；
③函數y=sin²x-2sinx=（sinx-1）²-1，∵sinx∈[-1，1]，因此函數f（x）的值域是[-1，3]，不正確；
④函數y=sin（

π

4

-2x）=-sin(2x-

π

4

)，由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），可知：函數f（x）
在（kπ+

5π

8

，kπ+

7π

8

），k∈Z上是增函數，正確；
⑤設函數f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 x 1 2 ，x＞0

，當x₀≤0時，由f（x₀）＞2，可得(

1

2

)x0＞2，∴-x₀＞1，解得x₀＜-1；當x₀＞0時，由f（x₀）＞2，可得

x0

＞2，∴x₀＞4．

則x₀的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞），正確．
綜上可得所有正確的命題的題號是②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查了三角函數的單調性、二次函數的單調性、分段函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．