Question

已知函數，點、在函數的圖象上，
點在函數的圖象上，設．
（1）求數列的通項公式；
（2）記，求數列的前項和為；
（3）已知，記數列的前項和為，數列的前項和為，試比較與的大�。�

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）當時,；
當時，;
當時，.

試題分析：（1）把點點、代入中，點代入函數中，可得，然后利用疊加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂項法求數列的前項和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出
，即，所以最后分類討論比較與的大小即可.
試題解析：（1）由題有： 
3分
（2），

                                                 8分
（3），，
由知
， 而，所以可得．
于是
．
當時 ；
當時，
當時，
下面證明：當時，
證法一：（利用組合恒等式放縮）
當時，
 
∴當時，   13分
證法二：（數學歸納法）證明略
證法三：（函數法）∵時，
構造函數，
∴當時，
∴在區間是減函數，
∴當時，
∴在區間是減函數，
∴當時，
從而時，，即∴當時，