Question

定義,,.
（1）比較與的大小；
（2）若，證明：；
（3）設(shè)的圖象為曲線，曲線在處的切線斜率為，若，且存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題分析：（1）根據(jù)定義求出和，進(jìn)而比較出和的大小；（2）先利用定義求出和的表達(dá)式，，利用分析法將所要證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）先利用定義求出函數(shù)的解析式，并求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，從而得到的表達(dá)式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式在有解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的極值點(diǎn)是否在區(qū)間進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間的最值，利用最值進(jìn)行分析，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）由定義知
∴,∴.
（2）
要證，只要證
∵
令，則，
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.
∵ ∴，即
∴不等式成立.
（3）由題意知：，且
于是有 在上有解.
又由定義知 即
∵ ∴，∴,即
∴在有解.
設(shè)
①當(dāng)即時(shí)，≥. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
∴ 當(dāng)時(shí)，  ∴
②當(dāng)≤時(shí)，即≤時(shí)，在上遞減，
∴. ∴
整理得：，無(wú)解
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.